A ilha do tesouro: um problema clássico

Quando estamos falando de problemas com números complexos, o problema da ilha do tesouro é um clássico.

É possível encontrá-lo em muitos livros, websites, vídeos e até mesmo na prova de vestibular da Unesp de 2014. Esse problema foi publicado originalmente em 1947 no livro One Two Three … Infinity  de George Gamow e tem muitas adaptações. É possível resolvê-lo utilizando, por exemplo, Geometria Analítica ou apenas Geometria Euclidiana, mas a solução proposta por Gamow utiliza os números complexos.

 

 

 

 

 

 

 

Ilha do Tesouro (Página 46 do livro One Two Three … Infinity de George Gamow)

O problema proposto por Gamow é, resumidamente, o seguinte:

Um jovem aventureiro encontrou em um pergaminho  de seu bisavô a localização de um tesouro escondido em uma ilha deserta. Após explicar como chegar a essa ilha, o pergaminho dava as seguintes instruções:

• Na costa norte da ilha há um prado onde é possível encontrar um único carvalho e um único pinheiro. Lá também será possível ver uma forca onde no passado se enforcavam os traidores. Partindo da forca, caminhe até o carvalho contando os passos. No carvalho, vire à direita 90º graus e depois caminhe o mesmo número de passos. Coloque uma estaca nessa posição.
• Retorne à forca e caminhe em direção ao pinheiro, contando os passos. No pinheiro, vire à esquerda 90º graus e depois caminhe o mesmo número de passos. Coloque outra estaca nessa posição.
• O tesouro se encontra na metade do caminho entre as duas estacas. 

Como as instruções estavam claras e precisas, o jovem aventureiro alugou um barco e partir em busca do tesouro. Ele encontrou a ilha, o prado, o carvalho e  o pinheiro, mas para sua tristeza, a forca tinha desaparecido. Muito tempo tinha se passado desde que o documento tinha sido escrito e o sol, a chuva e o vento tinham desintegrado a forca não deixando nenhum vestígio de onde estivesse localizada. O jovem caiu em desespero e começou a cavar aleatoriamente o terreno da ilha, mas seus esforços foram em vão e ele partiu da ilha com as mão vazias. 

Uma história triste e mais triste ainda é o fato que o jovem aventureiro teria encontrado o tesouro se conhecesse um pouco de Matemática, mais especificamente se conhecesse o uso dos números imaginários. 

Colocando as instruções desse problema no Geogebra,  é possível perceber que a localização do tesouro não se altera qualquer que seja a localização da forca. Isso pode ser verificado no seguinte applet.  Localize o tesouro movendo o controle deslizante. Depois,  modifique a posição da forca e observe o que acontece com a localização do tesouro.

Se preferir, você pode abrir esse applet em uma nova aba.

Como podemos demonstrar que a localização do tesouro não depende da localização da forca? E, principalmente, como podemos usar os números complexos nessa demonstração?

Na solução proposta por Gamow, ele utiliza um plano complexo, cujo eixo real passa pela linha que une as duas árvores.  A origem desse plano complexo fica no ponto médio entre as duas árvores, conforme pode ser visto na seguinte figura.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nesse plano complexo, os afixos do carvalho e do pinheiro são:

• carvalho: -1 + 0i
• pinheiro: 1 + 0i

A forca pode estar em qualquer local do plano complexo. Logo,  podemos considerá-la como um número complexo qualquer:

• forca: a + bi 

Lembrando que uma rotação de no sentido anti-horário corresponde a uma multiplicação por i e que uma rotação de   no sentido horário corresponde a uma multiplicação por –i,   podemos determinar as localizações das estacas 1 e 2 no plano complexo:

estaca 1:

estaca 2:

O tesouro está localizado no ponto médio entre as estacas 1 e 2. Logo, temos:

O tesouro está localizado em 0 + i, isto é, uma unidade acima do ponto médio entre as duas árvores. Sua localização é, portanto,  independente da localização da forca (a+bi).