Equações cúbicas – a fórmula de Cardano (3ª parte) – Um blog sobre os números complexos

Quando aplicamos a fórmula de Cardano ao exemplo histórico $x^3 = 15x + 4$ chegamos a $x = \sqrt[3]{2 +\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}$ .

Embora Cardano tenha dito que sua fórmula geral não se aplicasse nesse caso, por conta do aparecimento de $\sqrt{-121}$ , as raízes quadradas de números negativos não puderam mais ser completamente ignoradas, pois sabia-se, por simples inspeção, que $x = 4$ é uma solução real dessa equação. Mais ainda: as outras duas raízes, $-2 \pm \sqrt{3}$ , também são números reais. Restava, então, o desafio de encontrar um modo de aplicar a fórmula de Cardano para encontrar as raízes reais desses casos irredutíveis.

Foi Rafael Bombelli (1526-1572), um engenheiro hidráulico italiano, quem conseguiu encontrar uma forma de resolver a equação $x^3 - 15x-4 = 0$ aplicando a fórmula de Cardano. Em seu livro L’Algebra, publicado em 1572, ele mostra que a fórmula de Cardano continua válida quando $\Delta < 0$ , desde que consideremos os números complexos e uma álgebra desenvolvida por ele.

Rafael Bombelli

Quando $\Delta < 0$ , a fórmula de Cardano expressa $x = u + v$ como a soma de duas raízes cúbicas de números complexos. Como um número complexo diferente de zero tem três raízes cúbicas, devemos considerar o par u e v de tal forma que $uv=-\frac{p}{3}$ , para não termos 9 soluções.

Na 2ª parte desse post exploramos um applet que mostrava a aplicação da fórmula de Cardano para determinar as soluções de equações cúbicas. Agora veremos um applet muito similar ao primeiro para tentar responder a seguinte pergunta .

O que podemos dizer das soluções da equação cúbica a partir do seu discriminante?

Na fórmula de Cardano consideremos o discriminante $\Delta = \left(\dfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{p}{3}\right)^3$ . O seguinte applet estuda as soluções de uma equação cúbica em função do valor do discriminante, isto é, o que ocorre com as soluções quando temos $\Delta > 0, \Delta < 0$ e $\Delta = 0$ .