Equações cúbicas – a fórmula de Cardano (2ª parte) – Um blog sobre os números complexos

Nesse post veremos mais alguns aspectos da fórmula de Cardano para resolução das equações cúbicas. Essa fórmula publicada no livro Ars Magna em 1545 levou ao aparecimento sistemático das raízes quadradas de números negativos e, portanto, ao surgimento dos números complexos.

Na primeira parte desse post, vimos que a fórmula de Cardano se aplica às cúbicas da forma $x^3 + px + q = 0$ e que sempre podemos fazer uma mudança de variável para deixar uma equação cúbica nessa forma. Vejamos agora como ela foi obtida.

Para resolver a equação $x^3 + px + q = 0$ , fazemos $x = u + v$ (*). Fazendo a substituição, obtemos:

$u^3 + v^3 + 3u^2v + 3vu^2 +p(u+v) + q = 0$ , ou seja:

$u^3 + v^3 + (3uv +p)(u+v) + q = 0$ .

Então, a solução dessa equação pode ser obtida se encontrarmos números $u, v$ tais que:

$(3uv + p) = 0$ , isto é, $uv = -p/3$ e

$u^3 + v^3 = -q$ (**), isto é:

$u^3 + v^3 = -q$ (**) e $u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}$ (***)

O problema de se achar $u^3$ e $v^3$ tendo a sua soma e o seu produto é conhecido. Trata-se da solução da seguinte equação de segundo grau:

$z^2 + qz -\dfrac{p^3}{27} = 0$ .

Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos:

$u^3 = \left (-\frac{q}{2} \right ) + \sqrt{\left (\frac{q}{2}\right )^2 + \left (\frac{p}{3}\right )^3}$ e

$v^3 = \left (-\frac{q}{2}\right) - \sqrt{\left (\frac{q}{2}\right )^2 + \left (\frac{p}{3}\right )^3}$

E, assim, chegamos à fórmula de Cardano:

$x = u+ v = \sqrt[3\,]{\left (-\frac{q}{2} \right ) + \sqrt{\left (\frac{q}{2}\right )^2 + \left (\frac{p}{3}\right )^3}} + \sqrt[3\,]{\left (-\frac{q}{2}\right) - \sqrt{\left (\frac{q}{2}\right )^2 + \left (\frac{p}{3}\right )^3}}$ , onde

$x = u + v$ , obtido pela fórmula de Cardano, é uma solução para $x^3 + px + q =0$ .

Devemos prestar atenção na fórmula de Cardano ao radicando $\Delta = \left(\dfrac{q}{2}\right)^2 +\left(\dfrac{p}{3}\right)^3$ . Foi o aparecimento de equações em que $\Delta$ era negativo nessa fórmula que levou ao surgimento dos números complexos, o que veremos no terceiro post dessa série.

Por ora, explore o seguinte applet do Geogebra que é uma implementação da fórmula de Cardano que resolve as equações cúbicas na forma reduzida $x^3 + px + q = 0$ .

Se preferir, abra esse applet em outra aba.

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