Equações cúbicas – a fórmula de Cardano (1ª parte) – Um blog sobre os números complexos

Diferentemente do que é afirmado em muitos livros didáticos, foi a busca pela solução das equações cúbicas, e não a resolução de equações quadráticas, que levou ao aparecimento sistemático das raízes quadradas de números negativos e, portanto, ao surgimento dos números complexos.

Em 1545, Girolamo Cardano publicou no livro Ars Magna uma fórmula que dava a solução para as equações cúbicas do tipo $x^3 +px + q = 0$ (cúbica reduzida, sem o termo quadrático). Em notação atual a fórmula de Cardano para a resolução da equação cúbica reduzida é dada por:

$x = \sqrt[3\,]{\left (-\frac{q}{2} \right ) + \sqrt{\left (\frac{q}{2}\right )^2 + \left (\frac{p}{3}\right )^3}} + \sqrt[3\,]{\left (-\frac{q}{2}\right) - \sqrt{\left (\frac{q}{2}\right )^2 + \left (\frac{p}{3}\right )^3}}$

Veremos a seguir alguns aspectos dessa importante fórmula matemática:

Toda equação cúbica pode ser resolvida pela fórmula de Cardano? E aquelas que não são da forma $x^3 + px + q = 0$ ?

A resposta é sim. Considere a equação mais geral do 3º grau $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ . Uma mudança de variável $x = z - \frac{b}{3a}$ permite eliminar o termo quadrático. Essa mudança de variável nada mais é do que uma translação. Esse método geométrico de eliminar o termo quadrático foi descoberto por Omar Khayyam (cerca de 1079 d.C) e foi a chave para se chegar à resolução algébrica das equações cúbicas. Assim, podemos aplicar essa mudança de variável para encontrar a equação reduzida e, depois de resolvê-la em z, determinar o valor correspondente para a variável x.

O seguinte applet mostra como se dá essa translação. Explore-o, mudando os coeficientes da equação geral da cúbica e observe a equação reduzida obtida. Utilize-o para transformar equações cúbicas na forma $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ para a forma $z^3 + pz + q = 0$ .

Uma equação cúbica com coeficientes reais tem sempre pelo menos uma solução real?

Novamente a resposta é sim. Você pode verificar isso geometricamente no seguinte applet que mostra as funções $f(x) = x^3$ e $g(x) = ax + b$ (coeficientes a, b reais).

Utilize os controles deslizantes do applet e, modificando os valores dos coeficientes da reta, conclua que uma cúbica com coeficientes reais terá sempre 1 ou 3 soluções reais.

Outros aspectos da utilização dessa fórmula serão vistos na 2ª parte desse post.

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